已知函数f=x2-2x+3写出函数f的单调增区间，并用定义加以证明．设函数f=x2-2x+3试利用的

题文

已知函数f（x）=x²-2x+3（x∈R）
（1）写出函数f（x）的单调增区间，并用定义加以证明．
（2）设函数f（x）=x²-2x+3（2≤x≤3）试利用（1）的结论直接写出该函数的值域（用区间表示）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f （x）的单调增区间为[1，+∞）
下面用定义证明：设x₁、、x₂是[1，+∞）上任意两个值，且x₁＜x₂
则f （x₁）-f （x₂）=x12-2x₁+3-（x22-2x₂+3）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＞0
∴∴f （x₁）-f （x₂）＜0
∴f （x₁）＜f （x₂）
∴f （x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）∵f （x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f （x）在[2，3]上是增函数
∴2≤x≤3时，f（x）的最大值f （3）=6，最小值f （1）=2，值域为[2，6]．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-2x+3（x∈R.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）