已知函数f的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f的保值区间．求函数f=x2形如[n，+∞）的保值区间；函

题文

已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x²形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间；
（2）函数g(x)=|1-1x|(x＞0)是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=x²≥0，∴n≥0，又f（x）=x²在[0，+∞）是增函数，故f（n）=n²，n²=n，∴n=0，或 n=1．
∴函数f（x）=x²形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间有[0，+∞）或[1，+∞）．
（2）假设存在实数a，b使得函数g(x)=|1-1x|(x＞0)，有形如[a，b]（a＜b）的保值区间，
则a＞0，g(x)=1x-1，(0，1)1-1x，[1，+∞)．
1⁰当实数a，b∈（0，1）时，g(x)=1x-1，(0，1)，此时，g（x）为减函数，
故g(a)=bg(b)=a，即 1a-1=b1b-1=a，∴a=b与a＜b矛盾．
2⁰当实数a，b∈[1，+∞）时，
g(x)=1-1x，∈[1，+∞)，此时，g（x）为为增函数，故g(a)=ag(b)=b，即 1-1a=a1-1b=b，
得方程1-1x=x在[1，+∞）上有两个不等的实根，而1-1x=x，即x²-x+1=0无实根，
故此时不存在满足条件的实数a，b．
3⁰当a∈（0，1），b∈[1，+∞），
∵1∈（a，b），而g（1）=0．
故此时不存在满足条件的实数a，b．
综上述，不存在实数a，b使得函数g(x)=|1-1x|(x＞0)，有形如[a，b]（a＜b）的保值区间．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）