已知f=lnx-ax．当a＞0时，判断f在定义域上的单调性；若f＜x2在上恒成立，试求a的取值范围；若f在

题文

已知f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上的最小值为32，求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）已知函数定义域为（0，+∝），
又有a＞0，则y₂=-ax是增函数，
y₁=lnx与y₂=-ax都是增函数，
故f（x）=lnx-ax在定义域上是增函数．
（Ⅱ）由已知f（x）＜x²，即f（x）=lnx-ax＜x²，在（1，+∞）上恒成立，
即a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立
令g（x）=xlnx-x³，则g′（x）=lnx-3x²+1，
又[g′（x）]'=1X-6x＜0，在（1，+∞）上恒成立，
所以g′（x）在（1，+∞）上为减函数，故g′（x）＜g′（1）＜0，
因此g（x）在（1，+∞）为减函数，
故a≥g（1），即a≥-1．（5分）
（III）分三种情况讨论，
（1）令f′（x）≥0，在[1，e]上恒成立，x+a≥0，即a≥-x，
则a≥-1时．此时f（x）在[1，e]上为增函数．
f（x）_min=f（1）=-a=32，
得a=-32，（舍去）
（2）令f′（x）≤0，在[1，e]上恒成立，有x+a≤0，即a≤-x，
则a≤-e时．此时f（x）在[1，e]上为减函数．
则f（x）_min=f（e）=1-ae=32，
得a=-e2（舍去），
（3）当-e＜x＜-1时，令f′（x）=0，得x₀=-a，
当1＜x＜x₀时，f′（x）＜0，f（x）在（1，x₀）上为减函数，
当x₀＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（x₀，e）上为增函数，
f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=32，
解可得a=-e，
综上可得，a=-e．（6分）．

解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=lnx-ax．（Ⅰ）当a＞.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）