设函数f=ax-1x+1，其中a∈R．若a=1，f的定义域为区间[0，3]，求f的最大值和最小值；若f的定义域为区间（0，+

题文

设函数f（x）=ax-1x+1，其中a∈R．
（1）若a=1，f（x）的定义域为区间[0，3]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）的定义域为区间（0，+∞），求a的取值范围，使f（x）在定义域内是单调减函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f（x）=ax-1x+1=a(x+1)-a-1x+1=a-a+1x+1，
设x₁，x₂∈R，则f（x₁）-f（x₂）=a+1x2+1-a+1x1+1
=(a+1)(x1-x2)(x1+1)(x2+1)．
（1）当a=1时，f（x）=1-2x+1，设0≤x₁＜x₂≤3，
则f（x₁）-f（x₂）=2(x1-x2)(x1+1)(x2+1)，
又x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[0，3]上是增函数，
∴f（x）_max=f（3）=1-24=12，f（x）_min=f（0）=1-21=-1．
（2）设x₁＞x₂＞0，则x₁-x₂＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0．
若使f（x）在（0，+∞）上是减函数，只要f（x₁）-f（x₂）＜0，而f（x₁）-f（x₂）=(a+1)(x1-x2)(x1+1)(x2+1)，
∴当a+1＜0，即a＜-1时，有f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴当a＜-1时，f（x）在定义域（0，+∞）内是单调减函数．

解析

ax-1x+1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ax-1x+1，其中a∈.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）