已知y=f是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f=x+x2．求x＜0时，f的解析式；问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时

题文

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+x²．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a-2，6b-6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x＜0，则-x＞0，于是f（-x）=-x+x²，
又f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），∴-f（x）=-x+x²，
即x＜0时，f（x）=x-x²．…（4分）
（2）假设存在这样的数a，b．
∵a≥0，且f（x）=x+x²在x≥0时为增函数，…（6分）
∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（a），f（b）]=[4a-2，6b-6]，
∴6b-6=f(b)=b2+b4a-2=f(a)=a2+a…（8分）
⇒b2-5b+6=0a2-3a+2=0⇒b=2或b=3a=1或a=2，即a=1b=2或a=1b=3…（10分）
或a=2b=2或a=2b=3，考虑到0≤a＜b，且4a-2＜6b-6，…（12分）
可得符合条件的a，b值分别为a=1b=2或a=1b=3或a=2b=3.…（14分）

解析

6b-6=f(b)=b2+b4a-2=f(a)=a2+a

考点

据考高分专家说，试题“已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）