设a为实数，函数f=2x2+|x-a|．当a=1时，判断函数f在的单调性并用定义证明；求f的最小值．

题文

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）当a=1时，判断函数f（x）在（1，+∞）的单调性并用定义证明；
（2）求f（x）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=1，x＞1时，f（x）=2x²+（x-1）|x-1|=2x²+（x-1）² =3x²-2x+1，…（1分）
则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
证明：设1＜x₁＜x₂，由于f（x₁）-f（x₂）=3x12-2x1+1-(3x22-2x2+1)=（x₁-x₂）[3（x₁+x₂）-2]，…（4分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∵1＜x₁＜x₂，∴x₁+x₂＞2，从而得3（x₁+x₂）-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）∵当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，…（7分）
故 f(x)min=f(a)，a≥0f(a3)，a＜0=2a2，a≥02a23，a＜0．…（9分）
当x≤a时，f（x）=x²+2ax-a²，…（10分）
f(x)min=f(-a)，a≥0f(a)，a＜0=-2a2，a≥02a2，a＜0．…（12分）
综上，f(x)min=-2a2，a≥02a23，a＜0．…（14分）

解析

f(a)，a≥0f(a3)，a＜0

考点

据考高分专家说，试题“设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）