已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f的全体：①f在其定义域上是单调函数；②在f的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f在[a，b]上的

题文

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a2，最大值是b2．请解答以下问题：
（1）判断函数g（x）=-x³是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
（2）若函数h(x)=x-1+t∈M，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数g（x）=-x³的定义域为 R，g′（x）=-3x²≤0 （仅在x=0时取等号），
故函数g（x）在R上是减函数，故满足条件①．
若g（x）∈M，当x∈[a，b]时，g(a)=b2g(b)=a2a＜b，即 -a3=b2-b3=a2a＜b，解得 a=-22b=22，故满足条件②的闭区间为[-22，22]．
由此可得，g（x）属于集合M．
（2）函数h（x）的定义域是[1，+∞），当x＞1时，h′(x)=12x-1＞0，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数，…（10分）
若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h(a)=a2，h(b)=b2，即a-2a-1-2t=0，且b-2b-1-2t=0，…（12分）
令x-1=y(x≥1)，则y≥0，
于是关于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有两个不等的实根，…（14分）
记u（y）=y²-2y+1-2t，∴△＞0u(0)≥0.，∴t∈(0，12]．…（16分）

解析

g(a)=b2g(b)=a2a＜b

考点

据考高分专家说，试题“已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）