已知函数f=x|x2-3|，x∈[0，m]其中m∈R，且m＞0．若m＜1，求证：函数f是增函数．如果函数f的值域是[0，2]，试求

题文

已知函数f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]其中m∈R，且m＞0．
（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数．
（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．
（3）若m≥1，试求函数f（x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）当m＜1时，f（x）=x（3-x²）=3x-x³．
因为f′（x）=3-3x²=3（1-x²）＞0．
所以f（x）是增函数．
（2）令g（x）=x|x²-3|，x≥0．
则g（x）=3x-x3，0≤x≤3x3-3x，x＞3，
当0＜x＜3时，由g′（x）=3-3x²=0得x=1，
所以g（x）在[0，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数．
当x＞3时，g′（x）=3x²-3＞0，所以g（x）在[3，+∞）上是增函数．
所以当x∈[0，3]时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（3）=0．
从而0＜m＜1不符合题意，1≤m≤3符合题意．
当m＞3时，在x∈[0，3)时，f（x）∈[0，2]；
在x∈[3，m]时，f（x）∈[0，f（m）]．
这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2，
即m³-3m≤2，（m-2）（m+1）²≤0，解得3＜m≤2．
综上所述，m的取值范围是[1，2]．
（3）由（2）知，当1≤m≤2时，f（x）在[0，m]上的最大值为f（1）=2，最小值为f（0）=0，
∴f（x）在[0，m]上的值域为[0，2]．
当m＞2时，f（x）在[3，m]上单调递增，
f(x)max=f(m)=m3-3m，
∴f（x）在[0，m]的值域为[0，m³-3m]．

解析

3x-x3，0≤x≤3x3-3x，x＞3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x|x2-3|，x∈[.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）