已知f(x)=loga1-kxx-1(a＞1)是奇函数求k的值，并求该函数的定义域；根据的结果，判断f在上的单调性，并给出证

题文

已知f(x)=loga1-kxx-1(a＞1)是奇函数
（Ⅰ）求k的值，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f(x)=loga1-kxx-1(a＞1)是奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0，即loga1-kxx-1•1+kx-x-1=0
则1-k²x²=1-x²，即k=±1，（3分）
当k=1时，1-kxx-1=-1＜0，所以k=-1（14分）
定义域为：{x|x＞1或x＜-1}
（Ⅱ）在（1，+∞）上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，则f(x1)-f(x2)=loga(x1+1)(x2-1)(x1-1)(x2+1)（8分）
又（x₁+1）（x₂-1）-（x₁-1）（x₂+1）=2（x₂-x₁）＜0∴0＜(x1+1)(x2-1)(x1-1)(x2+1)＜1，又a＞1，
∴loga(x1+1)(x2-1)(x1-1)(x2+1)＜0（10分）
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数（12分）

解析

1-kxx-1

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=loga1-kxx-1(a.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）