已知函数f=sinx+cosx，f'是f的导函数当x∈[0，π2]时求函数g(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域．在直角坐

题文

已知函数f（x）=sinx+cosx，f'（x）是f（x）的导函数
（1）当x∈[0，π2]时求函数g(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域．
（2）在直角坐标系中画出y=g(x)-1在[-π2，π2]上的图象． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）=sinx+cosx，∴f'（x）=cosx-sinx，∴f（x）f^′（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x，f²（x）=1+sin2x，
∴g（x）=cos2x+sin2x+1，
∴g(x)=2sin(2x+π4)+1，
∵x∈[0，π2]，∴(2x+π4)∈[π4，5π4]，∴-22≤sin(2x+π4)≤1，
∴y∈[0，2+1]．



（2）y=g（x）-1=2sin(2x+π4)，x∈[-π2，π2]．
列表如右：
画出图象：

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=sinx+cosx，f.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）