设曲线y=ex在点A处的切线为l1，曲线y=e-x在点B处的切线为l2．若存在x0∈[0，32]，使得l1⊥l

题文

设曲线y=（ax-1）e^x在点A（x₀，y₁）处的切线为l₁，曲线y=（1-x）e^-x在点B（x₀，y₂）处的切线为l₂．若存在x0∈[0，32]，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

函数y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax+a-1）e^x，
∴l₁的斜率为k1=(ax0+a-1)ex0，
函数y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x
∴l₂的斜率为k2=(x0-2)e-x0，
由题设有k₁•k₂=-1从而有(ax0+a-1)ex0•(x0-2)e-x0=-1
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵x0∈[0，32]得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=x0-3x20-x0-2，
又a′=-(x0-1)(x0-5)(x02-x0-2)2，另导数大于0得1＜x₀＜5，
故x0-3x20-x0-2在（0，1）是减函数，在（1，32）上是增函数，
x₀=0时取得最大值为0-302-0-2=32；
x₀=1时取得最小值为1．
∴1≤a≤32
故答案为：1≤a≤32

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“设曲线y=（ax-1）ex在点A（x0，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）