题文
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，则称h（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数．若f(x)=sinx2，g(x)=cosx．（1）判断函数y=sinkx，（k∈R）是否为f（x），g（x）在R上的生成函数，请说明理由．
（2）记G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，若G(π3)=1，且G（x）的最大值为98，求G（x）的解析式． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）若函数y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函数，则存在正实数m，n使得sinkx=msinx2+ncosx恒成立，
取x=0得：0=n，不符合n＞0这个条件，
故函数y=sinkx，（k∈R）不是为f（x），g（x）在R上的生成函数，
（2）∵G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，若G(π3)=1，
则存在正实数m，n使得G（x）=msinx2+ncosx恒成立，
且msinπ6+ncosπ3=1，即：m+n=2，
故G（x）=(2-n)sinx2+ncosx=(2-n)sinx2+n(1-2sin 2x2)
=(2-n)sinx2-2nsin 2x2+n
令sinx2=t，则G（x）=-2nt2+（2-n）t+n，
根据其G（x）的最大值为98，
得到：n=1 或49
代入m+n=2，得
m=1，n=1，或m=149，n=49
故G（x）的解析式为：G（x）=sinx2+cosx或G（x）=149sinx2+49cosx．
解析
x2考点
据考高分专家说，试题“已知f（x），g（x）都是定义在R上的函.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
