设函数f的解析式满足f(x+1)=x2+2x+a+1x+1(a＞0)．求函数f的解析式；当a=1时，试判断函数f在区间

题文

设函数f（x）的解析式满足f(x+1)=x2+2x+a+1x+1 (a＞0)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当a=1时，记函数g(x)=f(x)，x＞0f(-x) ，x＜0，求函数g（x）在区间[-2，-12]上的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x+1=t（t≠0），则x=t-1，
∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)+2a+1t=t2+at
∴f(x)=x2+ax
（2）当a=1时，f(x)=x2+1x=x+1x
f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=(x1+1x1)-(x2+1x2)=(x1-x2)+(1x1-1x2)=(x1-x2)+x2-x1x1x2(x1-x2)(1-1x1x2)=(x1-x2)x1x2(x1x2-1)（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＜0，
∴(x1-x2)x1x2(x1x2-1)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0⇒f（x₁）＞f（x₂）
所以，f（x）在（0，1）上单调递减，
同理可证得f（x）在（1，+∞）上单调递增
（3）∵g(-x)=f(-x)，-x＞0f(x)   ，-x＜0=f(-x)，x＜0f(x)，x＞0=g(x)，
∴g（x）为偶函数，
所以，∴y=g（x）的图象关于y轴对称，
又当a=1，x∈[12，2]时，由（2）知g(x)=x+1x在[12，1]单调减，[1，2]单调增，
∴g(x)min=g(1)=2，g(x)max=g(12)=g(2)=52
∴当a=1时，函数g（x）在区间[-2，-12]上的值域的为[2，52]

解析

(t-1)2+2(t-1)+2a+1t

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）的解析式满足f(x+1)=.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）