已知x1，x2是关于x的方程：x2-kx+t=0的两个根，且x1＞0，x2＞0，记f(t)=(1x1-x1)(1x2-x2)．求出k与t之间

题文

已知x₁，x₂是关于x的方程：x²-kx+t=0（k，t∈R）的两个根，且x₁＞0，x₂＞0，记f(t)=(1x1-x1)(1x2-x2)．
（1）求出k与t之间的关系；
（2）若f（t）在其定义域内是单调函数，试求k的取值范围；
（3）解不等式：f（t）≤4． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得k2-4t≥0    x1+x2=k＞0x1•x2=t＞0⇒0＜t≤k24（4分）
（2）f（t）的定义域为{t|0＜t≤k24，k＞0}，f(t)=(1x1-x1)(1x2-x2)=t+(1-k2)t+2
当函数f（t）在定义域上单调递增时，k≥1；
当函数f（t）在定义域上单调递减时，0＜k≤25-2
∴当f（t）在其定义域内是单调函数时，k的取值范围为(0，25-2]∪[1，+∞)．（10分）
（3）∵k2-4t≥0    x1+x2=k＞0   x1•x2=t＞0
∴f(t)=(1x1-x1)(1x2-x2)=t+(1-k2)t+2≤4
∴t²-2t+1-k²=[t-（1-k）][t-（1+k）]≤0⇒1-k≤t≤1+k，
又0＜t≤k24，k＞0，（12分）
①当0＜k＜-2+22时，t∈∅；（13分）
②当-2+22≤k＜1时，1-k≤t≤k24（14分）
③当1≤k＜2+22时，0＜t≤k24；（15分）
④当k≥2+22时，0＜t≤1+k（16分）．

解析

k2-4t≥0    x1+x2=k＞0x1•x2=t＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知x1，x2是关于x的方程：x2-kx.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）