已知函数f(x)=loga1-mxx-1是奇函数．求实数m的值；判断函数f在上的单调性，并给出证明；（3

题文

已知函数f(x)=loga1-mxx-1（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（r，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数r与a的值 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知条件得f（-x）+f（x）=0对定义域中的x均成立．
所以logamx+1-x-1+loga1-mxx-1=0，
即mx+1-x-1•1-mxx-1=1，
即m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立．
所以m²=1，即m=1（舍去）或m=-1．
（2）由（1）得f(x)=loga1+xx-1，
设t=x+1x-1=x-1+2x-1=1+2x-1，
当x₁＞x₂＞1时，t1-t2=2x1-1-2x2-1=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)，所以t₁＜t₂．
当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．所以当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）因为函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
所以①：r＜a-2＜-1，0＜a＜1．
所以f（x）在（r，a-2）为增函数，要使值域为（1，+∞），
则loga1+rr-1=1a-2=-1（无解）
②：1＜r＜a-2，所以a＞3．所以f（x）在（r，a-2）为减函数，要使f（x）的值域为（1，+∞），
则r=1logaa-1a-3=1
所以a=2+3，r=1．

解析

mx+1-x-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=loga1-mxx-1.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）