已知函数f=3x2+x+3，p为实数．若函数是偶函数，试求函数f在区间[-1，3]上的值域；已知α：函数f在区间[-12

题文

已知函数f（x）=3x²+（p+2）x+3，p为实数．
（1）若函数是偶函数，试求函数f（x）在区间[-1，3]上的值域；
（2）已知α：函数f（x）在区间[-12，+∞)上是增函数，β：方程f（x）=p有小于-2的实根．试问：α是β的什么条件（指出充分性和必要性）？请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由函数y=f（x）是偶函数，得：
f（-x）=3x²+（p+2）（-x）+3=3x²+（p+2）x+3=f（x）恒成立
∴p+2=0即p=-2 （2分）；
f（x）=3x²+3在x=0处取最小值3，在x=3处取最大值30
∴函数f（x）在区间[-1，3]上的值域为[3，30]．（2分）
（2）∵函数f（x）在区间[-12，+∞)上是增函数
∴-p+26＜-12即p≥1
∴α：p≥1；（2分）；
方程f（x）=p有小于-2的实根则△≥0，较小的根小于小于-2，则β：p＞113（4分）
 所以：α是β的必要非充分条件（2分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=3x2+（p+2）x+.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）