已知函数f(x2-3)=lgx2x2-6．求函数f的定义域；判断函数f的奇偶性；求f的反函数；若f[φ]=lgx

题文

已知函数f(x2-3)=lgx2x2-6．
（1）求函数f（x）的定义域；                 （2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求f（x）的反函数；                     （4）若f[φ（x）]=lgx，求φ（3）的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x²-3=t（t＞-3），
所以原函数转化为f（t）=lg t+3t-3，
由 t+3t-3＞0得定义域为{t|t＞3}
即f（x）=lg x+3x-3，定义域为{x|x＞3}
（2）因为f（x）的定义域是（3，+∞）
所以函数f（x）是非奇非偶函数
（3）由f（x）=lg x+3x-3得
x=3(10y+1)10y-1(y∈(0，+∞))
所以f（x）的反函数是f-1(x)=3(10x+1)10x-1(x∈(0，+∞))
（4）由f[φ（x）]=lgx可得：f[φ（x）]=lg φ(x)+3φ(x)-3=lgx
即：φ(x)+3φ(x)-3=x
解得：φ（x）=3x+3x-1
则：φ（3）=6

解析

t+3t-3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x2-3)=lgx2x2-6.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）