已知函数f=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称．求b的值；若f在x=t处取得极小值，记此极小值为g，求g的定

题文

已知函数f（x）=x³+bx²+cx的导函数的图象关于直线x=2对称．
（1）求b的值；
（2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=3x²+2bx+c
因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，
所以-2b6=2，于是b=-6
（2）由（Ⅰ）知，，f（x）=x³-6x²+cx
f′（x）=3x²-12x+c=3（x-2）²+c-12
（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．
（ii）当c＜12时，f′（x）=0有两个互异实根x₁，x₂．
不妨设x₁＜x₂，则x₁＜2＜x₂．
当x＜x₁时，f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，x₁）内为增函数；
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x₁，x₂）内为减函数；
当x＞x₂时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x₂，+∞）内为增函数．
所以f（x）在x=x₁处取极大值，在x=x₂处取极小值．
因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x₂处存在唯一极小值，所以t=x₂＞2．
于是g（t）的定义域为（2，+∞）．
由f′（t）=3t²-12t+c=0得c=-3t²+12t．
于是g（t）=f（t）=t³-6t²+ct=-2t³+6t²，t∈（2，+∞）．
当t＞2时，g′（t）=-6t²+12t=6t（2-t）＜0
所以函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，
故g（t）的值域为（-∞，8）

解析

2b6

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3+bx2+cx的导.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）