设f(x)=ax2+bx．当a=-1，b=4时，求函数f的定义域和值域；求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数

题文

设f(x)=ax2+bx．
（1）当a=-1，b=4时，求函数f（e^x）（e是自然对数的底数．）的定义域和值域；
（2）求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（14分）（1）f(ex)=-e2x+4ex，
由-e^2x+4e^x≥0解得0＜e^x≤4，∴x≤ln4，
所以函数f（e^x）的定义域是（-∞，ln4]．…（2分）
设e^x=t＞0，则f(ex)=-t2+4t，
记g（t）=-t²+4t（t＞0），∴g（t）∈[0，4]，∴f（e^x）∈[0，2]，即f（e^x）的值域是[0，2]…（4分）
（2）①若a=0，则对于每个正数b，f(x)=bx的定义域和值域都是[0，+∞）
故a=0满足条件；             …（6分）
②若a＞0，则对于正数b，f(x)=ax2+bx的定义域为D={x|ax²+bx≥0}=(-∞，-ba]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），
故D≠A，即a＞0不合条件；           …（9分）
③若a＜0，则对正数b，f(x)=ax2+bx的定义域D=[0，-ba]
由于此时(f(x))max=f(-b2a)=b2-a，故f（x）的值域为[0，b2-a]
则-ba=b2-a⇔a＜02-a=-a⇔a=-4
综上所述：a的值为0或-4…（14分）

解析

-e2x+4ex

考点

据考高分专家说，试题“设f(x)=ax2+bx．（1）当a=-.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）