已知函数f(x)=1x-log21+x1-x，求f的定义域；判断并证明f的奇偶性；在内，求使关系式f(x)＞f(13)成

题文

已知函数 f(x)=1x-log21+x1-x，
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断并证明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）在（0，1）内，求使关系式f(x)＞f(13)成立的实数x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）函数f（x）有意义，需x≠01+x1-x＞0
解得-1＜x＜1且x≠0，
∴函数定义域为x|-1＜x＜0或0＜x＜1；
（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，
∵f（-x）=f(-x)=-1x-log21-x1+x=-1x+log21+x1-x=-f(x)，
又由（1）已知f（x）的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数；
（Ⅲ）设0＜x₁＜x₂＜1，∵1x1-1x2=x2-x1x1x2，
又x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，∴1x1-1x2＞0①
又1+x11-x1-1+x21-x2=2(x1-x2)(1-x1)(1-x2)，∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴0＜1+x11-x1＜1+x21-x2；
∴log21+x11-x1＜log21+x21-x2．②
由①②，得f(x1)-f(x2)=(1x1-1x2)+(log21+x21-x2-log21+x11-x1)＞0，
∴f（x）在（0，1）内为减函数；
又f(x)＞f(13)，∴使f(x)＞f(13)成立x的范围是0＜x＜13．

解析

x≠01+x1-x＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1x-log21+x1.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）