已知函数f=ax-24-ax-1．求函数f的定义域、值域；是否存在实数a，使得函数f满足：对于任意x∈[-1，+

题文

已知函数f（x）=ax-24-ax-1（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域、值域；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由4-a^x≥0，得a^x≤4．当a＞1时，x≤log_a4；当0＜a＜1时，x≥log_a4．
即当a＞1时，f（x）的定义域为（-∞，log_a4]；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[log_a4，+∞）．
令t=4-ax，则0≤t＜2，且a^x=4-t²，∴f（x）=g（t）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
当t≥0时，g（x）是t的单调减函数，∴g（2）＜g（t）≤g（0），即-5＜f（x）≤3，∴函数f（x）的值域是（-5，3]．
（2）若存在实数a，使得对于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0，则区间[-1，+∞）是定义域的子集．
由（1）知，a＞1不满足条件；所以0＜a＜1，且log_a4≤-1，即14≤a＜1．
令t=4-ax，由（1）知，f（x）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
由f（x）≤0，解得t≤-3（舍）或t≥1，即有4-ax≥1解得a^x≤3，
由题意知对任意x∈[-1，+∞），有a^x≤3恒成立，因为0＜a＜1，所以对任意x∈[-1，+∞），都有a^x≤a^-1．所以有a^-1≤3，解得a≥13，即13≤a＜1．∴存在a∈[13，1)，对任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0．

解析

4-ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax-24-ax-1（.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）