已知函数f(x)=2x+2-x2x-2-x求f的定义域和值域；写出f）的单调区间，并用定义证明f在所写区间上的单调性．

题文

已知函数f(x)=2x+2-x2x-2-x 
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）写出f（x））的单调区间，并用定义证明f（x）在所写区间上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)=2x+2-x2x-2-x =4x+14x-1 
要使函数成立，需满足4^x≠1，即4^x≠4⁰，解得≠0
∴定义域为x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
由y=4x+14x-1 ⇒4x=y+1y-1＞0⇒y＞1或y＜-1
∴函数的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）和（-∞，0）
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=4x2+14x2-1-4x1+14x1-1=2(4x1-4x2)(4x2-1)(4x1-1))
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴4x1-1＞0，4x2-1＞0，4x1-4x2＜0，
∴2(4x1-4x2)(4x2-1)(4x1-1))＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=4x2+14x2-1-4x1+14x1-1=2(4x1-4x2)(4x2-1)(4x1-1))
∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴4x1-1＜0，4x2-1＜0，4x1-4x2＜0，
∴2(4x1-4x2)(4x2-1)(4x1-1))＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数．

解析

2x+2-x2x-2-x 

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x+2-x2x-2-.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）