已知a＞0，且a≠1，f=x-x．求f的定义域；求f的单调区间．

题文

已知a＞0，且a≠1，f（a^x）=x-x．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的单调区间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设t=a^x，则x=log_at，t＞0
所以f(t)=log⁡at-log⁡at，所以f(x)=log⁡ax-logax，要使函数有意义则
log_ax≥0，若a＞1，则x≥1．若0＜a＜1，则0＜x＜1．
所以若a＞1，函数的定义域为[1，+∞）．若0＜a＜1，函数的定义域为（0，1）
（2）由（1）知f(x)=log⁡ax-logax，令u=logax≥0，则y=f（u）=u²-u，
①当a＞1时，f（u）在u∈[0，12)单调递减，在u∈[12，+∞)单调递增．
而u=logax≥0，在[1，+∞）恒为单调递增．
所以原函数f（x）在[1，a14）上单调递减，在[a14，+∞）单调递增．
②当0＜a＜1时，同理可得，原函数f（x）在（a14，1）单调递增．
在（0，a14）单调递增．

解析

log⁡at

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞0，且a≠1，f（ax）=x-x.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）