已知函数f=3x-2-x3x+2-x．判断f的奇偶性；判断f的单调性，并加以证明；写出f的值域．

题文

已知函数f（x）=3x-2-x3x+2-x．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）写出f（x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意可得：x∈R，所以定义域关于原点对称．
又因为 f（x）=3x-2-x3x+2-x=2x•3x-12x•3x+1=6x-16x+1
所以f（-x）=6-x-16-x+1=1-6x1+6x=-f（x），
所以f（x）是奇函数．
（Ⅱ）f（x）=6x-16x+1=(6x+1)-26x+1=1-26x+1，在R上是增函数，
证明如下：任意取x₁，x₂，并且x₁＞x₂∴6x1＞6x2＞0
则 f（x₁）-f（x₂）=26x2+1-26x1+1=2(6x1-6x2) (6x1+1)( 6x2+1)＞0
所以f（x₁）＞f（x₂），则f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）∵0＜26x+1＜2
∴f（x）=1-26x+1∈（-1，1），
所以f（x）的值域为（-1，1）．

解析

3x-2-x3x+2-x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=3x-2-x3x+2-.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）