已知函数f(x)=loga1-x1+x(0＜a＜1)．求函数f的定义域D，并判断f的奇偶性；如果当x∈时，f的值域是（-

题文

已知函数f(x)=loga1-x1+x(0＜a＜1)．
（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；
（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），求a与t的值；
（3）对任意的x₁，x₂∈D，是否存在x₃∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）要使原函数有意义，则1-x1+x＞0，解得-1＜x＜1，
所以，函数f（x）的定义域D=（-1，1）
f（x）是定义域内的奇函数．
证明：对任意x∈D，有f(-x)=loga1+x1-x=loga(1-x1+x)-1=-loga(1-x1+x)=-f(x)
所以函数f（x）是奇函数．
另证：对任意x∈D，f(-x)+f(x)=loga1+x1-x+loga(1-x1+x)=loga1=0
所以函数f（x）是奇函数．
（2）由1-x1+x=-1+2x+1知，函数g(x)=1-x1+x在（-1，1）上单调递减，
因为0＜a＜1，所以f（x）在（-1，1）上是增函数  
又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），所以（t，a）⊆（-1，1）
且g(x)=1-x1+x在（t，a）的值域是（a，+∞），
故g(a)=1-a1+a=a且t=-1（结合g（x）图象易得t=-1）
由1-a1+a=a得：a²+a=1-a，解得a=2-1或a=-2-1（舍去）．
所以a=2-1，t=-1
（3）假设存在x₃∈（-1，1）使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）
即loga1-x11+x1+loga1-x21+x2=loga1-x31+x3
则loga(1-x11+x1•1-x21+x2)=loga1-x31+x3⇒1-x11+x1•1-x21+x2=1-x31+x3，
解得x3=x1+x21+x1x2，
下面证明x3=x1+x21+x1x2∈(-1，1)，即证：(x1+x21+x1x2)2＜1．
证明：法一、
由(x1+x21+x1x2)2-1=(x1+x2)2-(1+x1x2)2(1+x1x2)2=x21+x22-1-x21x22(1+x1x2)2=-(1-x21)(1-x22)(1+x1x2)2．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴1-x12＞0，1-x22＞0，(1+x1x2)2＞0，
∴(1-x12)(1-x22)(1+x1x2)2＞0，即(x1+x21+x1x2)2-1＜0，∴(x1+x21+x1x2)2＜1．
所以存在x3=x1+x21+x1x2∈(-1，1)，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．
法二、
要证明(x1+x21+x1x2)2＜1，即证(x1+x2)2＜(1+x1x2)2，也即(1-x12)(1-x22)＞0．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴1-x12＞0，1-x22＞0，∴(1-x12)(1-x22)＞0，
∴(x1+x21+x1x2)2＜1．
所以存在x3=x1+x21+x1x2∈(-1，1)，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．

解析

1-x1+x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=loga1-x1+x(.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）