已知函数f=logax+bx-b．求f的定义域；讨论f的奇偶性；讨论f的单调性．

题文

已知函数f（x）=log_ax+bx-b（a＞0，b＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）使f（x）有意义，则x+bx-b＞0，
∵b＞0，∴x＞b或x＜-b，
∴f（x）的定义域为{x|x＞b或x＜-b}．
（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，
∵f（-x）=log_a-x+b-x-b=log_ax-bx+b=log_a^(x+bx-b)-1=-log_ax+bx-b=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．
（3）设u=x+bx-b=x-b+2bx-b=1+2bx-b，
设x₁＞x₂，则u₁-u₂=1+2bx1-b-(1+2bx2-b)=2b(x2-x1)(x1-b)(x2-b)，
当x₁＞x₂＞b时，2b(x2-x1)(x1-b)(x2-b)＜0，即u₁＜u₂，
此时，u为减函数，同理-b＞x₁＞x₂时，u也为减函数．
∴当a＞1时，f（x）=log_ax+bx-b在（-∞，-b）上为减函数，在（b，+∞）上也为减函数．
当0＜a＜1时，
f（x）=log_ax+bx-b在（-∞，-b）上为增函数，在（b，+∞）上也为增函数．

解析

x+bx-b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=logax+bx-b（.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）