给出定义：若m-12≤x＜m+12，则m叫离实数x最近的整数，记作[x]=m，已知f=|[x]-x|，下列四个命题：①函数f的定义域

题文

给出定义：若m-12≤x＜m+12（其中m为整数），则m叫离实数x最近的整数，记作[x]=m，已知f（x）=|[x]-x|，下列四个命题：
①函数f（x）的定义域为R，值域为[0，12]； ②函数f（x）是R上的增函数；
③函数f（x）是周期函数，最小正周期为1；  ④函数f（x）是偶函数，
其中正确的命题的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1 题型：未知 难度：其他题型

答案

①中，令x=m+a，a∈[-12，12）
∴f（x）=|[x]-x|=|m-（m+a）|=|a|∈[0，12]，
所以①正确；
②中，∵14∈[-12，12）-14∈[-12，12），且[14]=0，[-14]=-1
f（-14）=|[-14]+14|=34，f（14）=|[14]-14|=14，
不满足区间[-12，12）上单调递增，故②错误；
③中，∵f（x+1）=|[x+1]-（x+1）|=|[x]-x|=f（x）
所以周期为1，故③正确；
∵m-12≤x＜m+12（m∈Z），
∴-m-12＜-x≤-m+12（m∈Z）
∴f（-x）=|[-x]-（-x）|=|（-m）+x|=|x-m|，f（x）=|[x]-x|=|m-x|
∴f（-x）=f（x）
∴④正确
综上所述，①③④正确．
故选B．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“给出定义：若m-12≤x＜m+12（其中.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）