已知点在曲线f=()x上，且a1=1．求f的定义域；求证：14(n+1)23-1≤1a1+1a2+…+1an≤4(n+

题文

已知点（a_n，a_n-1）在曲线f（x）=(    )x上，且a₁=1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求证：14(n+1)23-1≤1a1+1a2+…+1an≤4(n+1)23-1（n∈N*）
（3）求证：数列{a_n}前n项和Sn≤(3n+2)3n2-32（n≥1，n∈N*） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）=x2+1x知x满足：x²+1x≥0，
∴x3+1x≥0，
∴(x+1)(x2-x+1)x≥0
∴x+1x≥0，
故x＞0，或x≤-1．
f（x）定义域为：（-∞，-1]∪（0，+∞）．
（2）证明：∵a_n+1²=a_n²+1an，则a_n+1²-a_n²=1an，
于是有：1a1+1a2+…+1an=a_n+1²-a₁²=a_n+1²-1
要证明：14(n+1)23-1≤1a1+1a2+…+1an≤4(n+1)23-1
只需证明：12n13≤an≤2n13（*） 
下面使用数学归纳法证明：12n13≤an≤2n13（n≥1，n∈N*） 
  ①在n=1时，a₁=1，12＜a₁＜2，则n=1时 （*）式成立．
②假设n=k时，12k13≤ak≤2k13成立，
由 a2k+1=a2k+1ak≤4k13+112k13=4k23+2k13
要证明：4k13+112k13≤4(k+1)23，
只需2k+1≤12k13(k+1)23只需（2k+1）³≤8k（k+1）²
只需1≤4k²+2k，而4k²+2k≥1在k≥1时，恒成立，
于是ak+12=14(k+1)23，于是ak+1≤ 2(k+1)13，
又ak+12=ak2+1ak≥14k23+12k13，
要证14k23+12k13≥14(k+1)23
只需证：k+2≥k13(k+1)23，
只需证：4k²+11k+8＞0，而4k²+11k+8＞0在k≥1时恒成立．
于是：a2k+1≥14(k+1)23．
因此 12(k+1)13≤a2k+1≤2(k+1)13得证．
综合①②可知（*）式得证，从而原不等式成立．
（3）证明：要证明：Sn≤(3n+2)3n2-32，
由（2）可知只需证：3n＜(3n+2)3n4-[3(n-1)+2]3n-14（n≥2）（**）
下面用分析法证明：（**）式成立．
要使（**）成立，
只需证：（3n-2）3n＞（3n-1）3n-1
即只需证：（3n-2）³n＞（3n-1）³（n-1），
只需证：2n＞1．
而2n＞1在n≥1时显然成立，
故（**）式得证．
于是由（**）式可知有：32+33+…+3n≤(3n+2)3n4-54
因此有：S_n=a₁+a₂+…+a_n≤1+2（32+33+…+3n）=(3n+2)3n2-32

解析

x2+1x

考点

据考高分专家说，试题“已知点（an，an-1）在曲线f（x）=.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）