已知偶函数f，对任意x1，x2∈R，恒有f=f+f+2x1x2+1，求f的值；f的表达式；令F

题文

已知偶函数f （x），对任意x₁，x₂∈R，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1，求
（1）f （0）的值；
（2）f （x）的表达式；
（3）令F(x)=a[f(x)]2-2f(x) (a＞0且a≠1)，求F（x）在（0，+∞）上的最值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x₁=x₂=0，则有f（0）=f（0）+f（0）+1，故f（0）=-1
（2）令x₁=x，x₂=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x）-2x²+1=-1
又∵f（x）为偶函数，故f（x）=f（-x），代入上式可得：f（x）=x²-1
（3）∵f（x）=x²-1，
∴F(x)=a(x2-1)2-2(x2-1)=ax4-4x2+3=a(x2-2)2-1，
∵（x²-2）²-1≥-1，
∴当a＞1时，F （x）的最小值为1a，最大值不存在
当0＜a＜1时，F （x）的最大值为1a，最小值不存在

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“已知偶函数f（x），对任意x1，x2∈R.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）