已知函数f=log3，求函数f的定义域；求证函数f在内单调递增．若f-1是函数f的反函数

题文

已知函数 f（x）=log₃（3^x-1），
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证函数f（x）在（0，+∞）内单调递增．
（3）若f^-1（x）是函数f（x）的反函数，设F（x）=f^-1（2x）-f（x），求函数F（x）的最小值及对应的x值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数 f（x）=log₃（3^x-1），得：3^x-1＞0，∴x＞0
∴f（x）的定义域 是（0，+∞）．
（2）设在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=log33x2-13x1-1
由y=3^x在定义域（0，+∞）内单调递增得：3x2-13x1-1＞ 1，∴log33x2-13x1-1＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴函数f（x）在（0，+∞）内单调递增（3分）
（3）由 f（x）=log₃（3^x-1），得：f^-1（x）=log₃（3^x+1），∴F（x）=f^-1（2x）-f（x）=log332x+13x-1
log3(3x-1+23x-1+2)≥log3(22 +2)
当x=log3(2+1)时，F（x）最小值为log3(22+2)

解析

3x2-13x1-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log3（3x-1），.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）