已知函数f=2x-1的反函数为f-1，g=log4．若f-1≤g，求x的取值范围P；设h(x)=g(x)-

题文

已知函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围P；
（2）设h(x)=g(x)-12f-1(x)，当x∈P时，求函数h（x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f^-1（x）=log₂（x+1）由log₂（x+1）≤log₄（3x+1）
得(x+1)2≤3x+1x+1＞03x+1＞0⇒0≤x≤1x＞-1x＞-13⇒0≤x≤1
∴P={x|0≤x≤1}
（2）h(x)=log4(3x+1)-12log2(x+1)=log4(3x+1)-log4(x+1)=log43x+1x+1=log4(3-2x+1)
∵x∈[0，1]∴x+1∈[1，2]⇒2x+1∈[1，2]
∴3-2x+1∈[1，2]∴h(x)∈[0，12]
即函数h（x）的值域为[0，12]

解析

(x+1)2≤3x+1x+1＞03x+1＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x-1的反函数为f-.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）