已知函数f(x)=exx-a求函数f的定义域及单调区间；若实数x∈（a，0]时，不等式f(x)≥12恒成立，求a的取值范围．

题文

已知函数f(x)=exx-a（a＜0）
（1）求函数f（x）的定义域及单调区间；
（2）若实数x∈（a，0]时，不等式f(x)≥12恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}….1分f′(x)=ex(x-a)-ex•1(x-a)2=ex[x-(a+1)](x-a)2．….3分
由f'（x）＞0，解得x＞a+1．由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．
∴f（x）的单调递增区间为（a+1，+∞），单调递减区间为（-∞，a），（a，a+1）．….6分
（2）由题意可知，a＜0，且f(x)=exx-a在（a，0]上的最小值大于等于12时，实数x∈（a，0]时，
使得不等式f(x)≥12恒成立．
①若a+1＜0即a＜-1时，
x（a，a+1）a+1（a+1，0）f'（x）-0+f（x）↘极小值↗∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=e^a+1．则ea+1≥12，得a≥ln12-1….9分
②若a+1≥0即a≥-1时，f（x）在（a，0]上单调递减，则f（x）在（a，0]上的最小值为f(0)=-1a．
由-1a≥12得a≥-2．                                              …10分
综上所述，0＞a≥ln12-1….12分．

解析

ex(x-a)-ex•1(x-a)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=exx-a（a＜0）（.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）