已知二次函数f=ax2+bx+1，对于任意的实数x1、x2，都有f(x1)+f(x1)2＞f(x1+x22)成立，且f为偶函数．（

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1，对于任意的实数x₁、x₂（x₁≠x₂），都有f(x1)+f(x1)2＞f(x1+x22)成立，且f（x+2）为偶函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数y=f（x）在[a，a+2]上的值域；
（3）定义区间[m，n]的长度为n-m．是否存在常数a，使的函数y=f（x）在区间[a，3]的值域为D，且D的长度为10-a³． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x+2）为偶函数可得f（x）=ax²+bx+1的图象关于直线x=2对称，
则-b2a=2，b=-4a，f（x）=ax²-4ax+1；
对于任意的实数x₁、x₂（x₁≠x₂），都有f(x1)+f(x1)2＞f(x1+x22)成立，则f(x1)+f(x1)2-f(x1+x22)=12(ax12-4ax1+1+ax22-4ax2+1)-[a(x1+x22)2-4ax1+x22+1]=12a(x1-x2)2＞0，
因为x₁≠x₂，
所以（x₁-x₂）²＞0，
故a＞0．
（2）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
因为a＞0，
所以a+2＞2．
当a+1≤2时，即0＜a≤1时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
函数y=f（x）的值域为[1-4a，a³-4a²+1]；
当1＜a≤2时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a+1，
函数y=f（x）的值域为[1-4a，a³-4a+1]；
当a＞2时，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=a³-4a+1，
函数y=f（x）的值域为[a³-4a²+1，a³-4a+1]．
（3）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
当0＜a≤1时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
f（x）_max-f（x）_min=a³-4a²+1-（1-4a）=a（a-2）²，
由0＜a≤1时，1≤（a-2）²＜4，则a（a-2）²＜4，而10-a³＞9，不合题意；
当1＜a＜2时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=1-3a，
f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（1-4a）=a，
由1＜a＜2，得10-a³＞2，所以a≠10-a³，不合题意；
当2≤a＜3时，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=1-3a，f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（a³-4a²+1）=10-a³，
故4a²-3a-10=0，（4a+5）（a-2）=0，
因为2≤a＜3，
所以a=2．
综上所述：存在常数a=2符合题意．

解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）