题文
设函数f（x）=lnx+aln（2-x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及其导数f'（x）；
（Ⅱ）当a≥-1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1时，令g（x）=f（x）+mx（m＞0），若g（x）在（0，1]上的最大值为12，求实数m的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由x＞02-x＞0得0＜x＜2，即函数的定义域为（0，2）；f′(x)=1x-a2-x．
（Ⅱ）当a≥-1时，f′(x)=1x-a2-x=2-(a+1)xx(2-x)
当a=-1时，f′(x)=2x(2-x)，所以在区间（0，2）上，f'（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间是（0，2）；
当a＞-1时，令f′(x)=2-(a+1)xx(2-x)=0，解得x=2a+1，
①当2a+1≥2时，即-1＜a≤0时，在区间（0，2）上，f'（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间是（0，2）；
②当0＜2a+1＜2时，即a＞0时，在区间(0，2a+1)上，f'（x）＞0，
在区间(2a+1，2)上，f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是(0，2a+1)，单调递减区间是(2a+1，2)．
（Ⅲ）当x∈（0，1]且m＞0时，g′(x)=1x-12-x+m=2(1-x)x(2-x)+m＞0，
即函数在区间（0，1]上是增函数，故函数g（x）在（0，1]上的最大值为g（1），
所以g(1)=m=12，即m=12．
解析
x＞02-x＞0考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=lnx+aln（2-x）.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
