已知实数m为非零常数，且f=loga(1+mx-1)为奇函数．求m的值；判断f在区间上的单调性，并用单调性

题文

已知实数m为非零常数，且f（x）=loga(1+mx-1)（a＞0且a≠1）为奇函数．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）当x∈（b，a）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），请确定实数a与b的取值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）若函数f（x）=loga(1+mx-1)（a＞0且a≠1）为奇函数
故f（-x）+f（x）=loga(1+m-x-1)+loga(1+mx-1)=loga[(1+mx-1)(1+m-x-1)]=loga[-x2+(m-1)21-x2]=0
即-x2+(m-1)21-x2=1，即（m-1）²=1
∵m≠0，
∴m=2
（2）由（1）得f（x）=loga(1+2x-1)=loga(x+1x-1)，
当0＜a＜1时，函数在区间（1，+∞）上为增函数
当a＞1时，函数在区间（1，+∞）上为减函数，理由如下：
令x₁，x₂是区间（1，+∞）上的任意两个值，且x₁＜x₂，
则x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂+1＞0，1+2(x2-x1)(x1-1)•(x2+1)＞1
则f（x₁）-f（x₂）=loga(x1+1x1-1)-loga(x2+1x2-1)=loga(x1+1x1-1•x2-1x2+1)=loga[1+2(x2-x1)(x1-1)•(x2+1)]
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函数在区间（1，+∞）上为增函数
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函数在区间（1，+∞）上为减函数
（3）由（1）得f（x）=loga(x+1x-1)的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
当0＜a＜1时，（b，a）⊊（-∞，-1）∪（1，+∞），此时函数的解析式无意义；
当a＞1，若函数的解析式有意义，则1≤b＜a，
由（2）可得，此时函数在（b，a）上为减函数
若函数f（x）的值域为（1，+∞）
则f（a）=1，
即loga(a+1a-1)=1
即a+1a-1=a
解得a=1+2
且limx→b(1+2x-1)=+∞
解得b=1
综上，a=1+2，b=1

解析

mx-1

考点

据考高分专家说，试题“已知实数m为非零常数，且f（x）=log.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）