题文
已知函数f(x),当x,y∈R时恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0),并判断f(x)的奇偶性;
(2)如果x>0时,有f(x)<0,试判断f(x)在R上的单调性,并给出证明;
(3)在(2)的条件下,若f(1)=-12,试求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(1)令x=y=0得f(0)=0,再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x),
又x∈R,所以f(x)为奇函数.
(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1),
有f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),
又∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在R上是减函数.
(3)由(2)知f(x)为在[-2,6]上为减函数.
∴f(x)max=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(-12)=-3.
解析
12考点
据考高分专家说,试题“已知函数f(x),当x,y∈R时恒有f(.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念:
自变量取值范围叫做函数的定义域,函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有:
(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零等;
(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围;
(3)根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围;
(4)复合函数的定义域:如果y是u的函数,而u是x的函数,即y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫做中间变量,设f(x)的定义域是x∈M,g(x)的定义域是x∈N,求y=f[g(x)]的定义域时,则只需求满足
的x的集合。设y=f[g(x)]的定义域为P,则
。
3、求函数值域的方法:
(1)利用一些常见函数的单调性和值域,如一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,三角函数,形如
(a,b为非零常数)的函数;
(2)利用函数的图象即数形结合的方法;
(3)利用均值不等式;
(4)利用判别式;
(5)利用换元法(如三角换元);
(6)分离法:分离常数与分离参数两种形式;
(7)利用复合函数的单调性。(注:二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系,含字母时要注意讨论)