已知函数f=-x2+2bx-b当b=2时，求函数y=f在[1，4]上的最值；若函数y=f在[1，4]上仅有一个零点，求b的取值范围

题文

已知函数f（x）=-x²+2bx-b
（1）当b=2时，求函数y=f（x） 在[1，4]上的最值；
（2）若函数y=f（x） 在[1，4]上仅有一个零点，求b的取值范围；
（3）是否存在实数b，使得函数y=f（x） 在[1，+∞）上的最大值是2，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f（x）=-x²+2bx-b=-（x-b）²-b+b²，的图象开口向下，对称轴为x=b的抛物线…（1分）
（1）当b=2时，f（x）=-x²+4x-2=-（x-2）²+2的图象开口向下，对称轴为x=2…（2分）
∴f（x）_max=f（2）=2，
f（x）_min=f（4）=-2…（4分）
（2）∵函数y=f（x） 在[1，4]上仅有一个零点
∴f（1）•f（4）≤0…（6分）（须验证端点是否成立与△=0的情况）
即（-1+b）（-16+7b）≤0
∴1≤b≤167
∴b的取值范围是[1，167]…（7分）
（3）当b＜1时，y=f（x） 在[1，+∞）上是减函数，
f（x）_max=f（1）=b-1=2
解得b=3，不合要求…（9分）
当b≥1时，f(x)max=f(b)=b2-b=2即b2-b-2=0
解得b=2或b=-1（不合，舍去），
∴b=2…（11分）
综上所述，当b=2时，使得函数y=f（x） 在[1，+∞）上的最大值是2．…（12分）

解析

167

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-x2+2bx-b（1.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）