已知函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g．设t=1+x+1-x，求t的取值范围；求g．

题文

已知函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．
（1）设t=1+x+1-x，求t的取值范围；
（2）求g（a）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）t=1+x+1-x 的定义域是[-1，1]，
t²=2+21-x2∈[2，4]，∵t＞0，
∴t∈[2，2]
∴t的取值范围是[2，2]．
（2）由（1）知1-x2=12t²-1，
∴f（t）=12at²+t-a，t∈[2，2]
①当a＞0时，f（t）在[2，2]上递增，
∴g（a）=f（2）=2a+2-a=a+2；
②当a=0时，f（t）=t，在[2，2]上递增，
∴g（a）=2；
③当a＜0时，分三种情况讨论，
A：-12＜a＜0，-1a＞2，∴g（a）=f（2）=a+2；
B：a＜-22，-1a＜2，∴g（a）=f（2）=2；
C：-22≤a≤-12，-1a∈[2，2]，∴g（a）=-a-12a
综上g（a）=a+2.    (a＞-12)-a-12a. (-22＜a＜-12)2.         (a≤-22)

解析

1+x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a1-x2+1+x+1.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）