已知函数f是正比例函数，g是反比例函数，且f=1，g=1，求函数f和g；判断函数F=f+g在[

题文

已知函数f（x）是正比例函数，g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=1，
（1）求函数f（x）和g（x）；
（2）判断函数F（x）=f（x）+g（x）在[1，2]上的单调性，并证明；
（3）求函数F（x）在[1，2]上的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）是正比例函数，g（x）是反比例函数，
∴设f（x）=k₁x，k₁≠0，g（x）=k2x，k₂≠0，
∵f（1）=1，g（1）=1，
∴k₁=1，k₂=1，
∴f（x）=x，g（x）=1x．
（2）∵F（x）=f（x）+g（x），
∴由（1）知F（x）=x+1x．它在[1，2]上的单调递增．证明如下：
在[1，2]上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
F（x₁）-F（x₂）=（x1+1x1）-（x2+1x2）
=（x₁-x₂）+（1x1-1x2）
=（x₁-x₂）+x2-x1x1x2
=（x₁-x₂）（1-1x1x2），
∵1≤x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，1-1x1x2＞0，
∴F（x₁）-F（x₂）=（x₁-x₂）（1-1x1x2）＜0，
∴函数F（x）=f（x）+g（x）在[1，2]上的单调递增．
（3）∵函数F（x）=x+1x在[1，2]上的单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=1+1=2，
f（x）_max=f（2）=2+12=52．
故函数F（x）在[1，2]上的值域为[2，52]．

解析

k2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是正比例函数，g（x）是.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）