已知：f=a•2x-1-a2x-1为奇函数，求函数的定义域；求a的值；求函数值域．

题文

已知：f（x）=a•2x-1-a2x-1为奇函数，
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求a的值；
（Ⅲ）求函数值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）要使原函数有意义，则2^x-1≠0，解得：x≠0，所以，原函数的定义域为{x|x≠0}；
（Ⅱ）因为f（x）=a•2x-1-a2x-1为奇函数，
所以有f（-x）+f（x）=0恒成立，即a•2-x-1-a2-x-1+a•2x-1-a2x-1=0恒成立，
整理得：a-(a+1)•2x1-2x+a•2x-1-a2x-1=0，
（a+1）•2^x-a+a•2^x-1-a=0，
也就是（2a+1）•（2^x-1）=0恒成立，
则a=-12．
（Ⅲ）把a=-12代入原函数得，f(x)=-12•2x-122x-1=1+2x2(1-2x)，
由y=1+2x2(1-2x)，得2y-2y•2^x=1+2^x，
即2^x（2y+1）=2y-1，则2x=2y-12y+1，
由2x=2y-12y+1＞0，得：y＜-12，或y＞12．
所以，函数的值域为（-∞，-12）∪（12，+∞）．

解析

a•2x-1-a2x-1

考点

据考高分专家说，试题“已知：f（x）=a•2x-1-a2x-1.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）