已知函数f(x)=-x，g(x)=1-2x1+2x，H=f+g判断并证明函数g的单调性．当x∈[-12，1]时，求H的

题文

已知函数f(x)=-x， g(x)=1-2x1+2x，H（x）=f（x）+g（x）
（1）判断并证明函数g（x）的单调性．
（2）当x∈[-12，1]时，求H（x）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）g(x)=1-2x1+2x=-1+21+2x
由2^x在R上单调递增，得g（x）为单调减函数．
证明：g(x)=1-2x2x+1=-1+22x+1
在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂
g(x1)-g(x2)=2(2x2-2x1)(2x1+1)(2x2+1)
∵x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
从而g（x₁）-g（x₂）＞0
所以函数g（x）在x∈R上为单调减函数．．
（2）H（x）=f（x）+g（x）
=-x+1-2x1+2x
∵f（x）在R上单调减函数，g（x）在x∈R上为单调减函数
∴H（x）为R上的单调减函数，得H（1）最小，最小值为-34．

解析

1-2x1+2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=-x，g(x)=1-2.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）