已知函数f满足f(x+a)=-1x-1(a∈R)．若f的定义域为∪，求证：f+f=-2对定义域内所有

题文

已知函数f（x）满足f(x+a)=-1x-1(a∈R)．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞），求证：f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内所有x都成立；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求f（x）的值域；
（Ⅲ）若f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞），设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，当a≥12时，求g（x）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（x+a）=-1x-1=-1(x+a)-a-1
∴f（x）=x+1-aa-x（a∈R且x≠a）
∴f（x）+f（2a-x）=x+1-aa-x+2a-x+1-aa-2a+x
=x+1-aa-x+a-x+1x-a=x+1-a-a+x-1a-x=2(x-a)a-x=-2．
（Ⅱ）当a+12≤x≤a+1时，
-1≤a-x≤-12，即-2≤1a-x≤-1，亦即-3≤-1+1a-x≤-2，
∴-3≤x+1-aa-x≤-2，
故f（x）的值域为[-3，-2]．
（Ⅲ）g（x）=x²+|x+1-a|=(x+12)2+34-a，(x≥a-1)(x-12)2+a-54，(x＜a-1)，（x≠a）．
①当x≥a-1且x≠a时，g（x）=x²+x+1-a=(x+12)2+34-a，
∵a≥12，∴a-1≥-12，即a≥12时，
在函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增，
g_min（x）=g（a-1）=（a-1）²；．
②当x≤a-1时，g（x）=x²-x-1+a=(x-12)2+a-54，
如果a-1≤12，即a≤32时，g（x）在（-∞，a-1]上为减函数，
g_min（x）=g（a-1）=（a-1）²．
如果a-1＞12，即a＞32时，g_min（x）=g(12)=a-54；
因为当a＞32时，(a-1)2-(a-54)=(a-32)2＞0，
即（a-1）²＞a-54．
综上所述，当12≤a≤32时，g（x）的最小值是（a-1）²；
当a＞32时，g（x）的最小值是a-54．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足f(x+a)=-1x.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）