已知函数f=-ex定义域为[-2，t]，设f=m，f=n．试确定t的取值范围，使得函数f在[-2，

题文

已知函数f（x）=（x²-3x+3）-e^x定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）求证：n＞m；
（3）求证：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足e=ca=22，并确定这样的e2=c2a2=a2-b2a2=12的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x
=x（x-1）•e^x．…（2分）
由f′（x）＞0，解得x＞1，或x＜0；
由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
欲使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值e，…（6分）
又f（-2）=13e2＜e，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2），
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即n＞m．…（9分）
（Ⅲ）证：因为f′(x0)ex0=x02-x0，
f′(x0)ex0=23(t-1)2，即为x 02-x0=23(t-1)2，
令g(x)=x2-x-23(t-1)2，
从而问题转化为证明方程g(x)=x2-x-23(t-1)2=0在（-2，t）上有解，
下面讨论解的个数：…（11分）
因g（-2）=6-23(t-1)2=-23(t+2)(t-4)，
g（t）=t（t-1）-23(t-1)2=13(t+2)(t-1)，
所以 ①当t＞4，或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，…（13分）
②当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-23(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解．…（14分）
③当t=1时，g（x）=x²-x=0，∴x=0，或x=1，所以g（x）=0在（-2，t）上有仅有一解；
当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，∴x=-2，或x=3，
所以g（x=0）在（-2，4）上也有且只有一解．…（15分）
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足f′(x0)ex0=23(t-1) 2，
且当t≥4，或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意；
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意．…（16分）

解析

13e2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x2-3x+3）-e.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）