已知f(x)=1x-1．求函数f的定义域；判断并用定义证明函数f的单调性；求函数f的反函数f-1；若对任意满足x

题文

已知f(x)=1x-1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；
（3）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（4）若对任意满足x₁+x₂=m的正实数x₁、x₂，不等式f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m）恒成立．求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由1x-1≥0得定义域为（0，1]．
（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下．
设0＜x₁＜x₂≤1，则f(x2)-f(x1)=1x2-1-1x1-1=x1-x2x2x11x2-1+1x1-1＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．这就是说函数f（x）在（0，1]上单调递减．
（3）令y=1x-1，解得x=11+y2（y≥0），即f-1(x)=11+x2（x≥0）．
（4）由f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m），
化简得到：（1+x₁²）（1+x₂²）＜1+m²．
注意到m=x₁+x₂，以及x₁，x₂＞0代入整理得：x₁x₂＜2．
把x₂=m-x₁代入整理得到：x₁²-mx₁+2＞0．
该关于x₁的不等式对于一切（0，m）内的x₁恒成立．
所以(m2)2-m•m2+2＞0．解得0＜m＜22．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=1x-1．（1）求函数f（.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）