已知向量a=，向量b与a的夹角为34π，且a•b=-1．求：向量b；若b与q=的夹角为π2，而向量p=(2sinx2，cosx)

题文

已知向量a=（1，1），向量b与a的夹角为34π，且a•b=-1．
（1）求：向量b；
（2）若b与q=（1，0）的夹角为π2，而向量p=(2sinx2，cosx)，试求f（x）=|b+p|；
（3）已知△ABC的三边长a、b、c满足b²=ac且b所对的角为x，求此时（2）中的f（x）的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设向量b=（x，y）
∵a•b=-1，a•b=|a||b|cosΘ=1×x+1×y=x+y
∴x+y=-1…①
∵|a||b|cos34π=-22|a||b|=-22×2|b|=-|b|
∴|b|=1
∴x²+y²=1…②
①代入②得：
x²+（-x-1）²=1
可得 2x²+2x=0
x（x+1）=0，
∴x_₁=0，x₂=-1
   y_₁=-1，y₂=0
∴b=（0，-1），或 b=（-1，0）
（2）因为b与q=（1，0）的夹角为π2，所以b=（0，-1），
因为向量p=(2sinx2，cosx)，
b+p=(2sinx2，cosx-1)，
所以f（x）=|b+p|=(2sinx2)2+(cosx-1)2=cos2x-4cosx+3
（3）因为△ABC的三边长a、b、c满足b²=ac且b所对的角为x，
所以b²=a²+c²-2accosx，
∴ac=a²+c²-2accosx，ac+2accosx≥2ac，解得1≥cosx≥12，
f（x）=cos2x-4cosx+3，1≥cosx≥12，
因为f（x）=cos2x-4cosx+3=(cosx-2)2-1在1≥cosx≥12上是减函数，
所以f（x）∈[0，52]

解析

b

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=（1，1），向量b与a的夹角.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）