对于函数y=f，如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：①f在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f的值域也是[m，n]．则称[

题文

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
①f（x）在[m，n]内是单调的；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）=a+1a-1x(a＞0)存在“和谐区间”，则a的取值范围是（ ）A．（0，1）B．（0，2）C．（12，52）D．（1，3） 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意可得函数f（x）=a+1a-1x(a＞0)在区间[m，n]是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程a+1a-1x=x的两个同号的实数根，
即方程ax²-（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，注意到mn=aa=1＞0，
故只需△=（a+1）²-4a²＞0，解得-13＜a＜1，
结合a＞0，可得0＜a＜1
故选A

解析

a+1a

考点

据考高分专家说，试题“对于函数y=f（x），如果存在区间[m，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）