已知函数f=ax-lnx求证f≥1+lna；若对任意的x1∈[12，23]，总存在唯一的x2∈[1e

题文

已知函数f（x）=ax-lnx（a＞0)，g(x)=8xx+2．
（I）求证f（x）≥1+lna；
（II）若对任意的x1∈[12，23]，总存在唯一的x2∈[1e2，e]（e为自然对数的底数），使得g（x₁）=f（x₂），求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：求导数可得f′（x）=a-1x（x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞1a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜1a
∴x=1a时，函数取得最小值
∴f（x）≥f（1a）=1+lna；
（II）g′（x）=16(x+2)2＞0，∴函数g（x），当x1∈[12，23]时，函数为增函数，∴g（x）∈[85，2]
当1a≥e时，函数f（x）在x2∈[1e2，e]上单调减，∴f（x）∈[ae2+2，ae-1]
∴ae2+2≤85ae-1≥2，无解；
当1e2＜1a＜e时，函数f（x）在[1e2，1a]上单调减，在[1a，e]上单调增，f（1a）=1+lna≤85，∴a≤e35，∴1e＜a≤e35
当1a≤1e2时，函数f（x）在x2∈[1e2，e]上单调增，∴f（x）∈[ae2+2，ae-1]，∴ae2+2≥2ae-1≤85，无解
综上知，1e＜a≤e35．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax-lnx（a＞0).....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）