已知定义在区间[-1，1]上的函数f(x)=2x+bx2+1为奇函数．．求实数b的值．判断函数f在区间上的单调性，并证明你的结论．

题文

已知定义在区间[-1，1]上的函数f(x)=2x+bx2+1为奇函数．．
（1）求实数b的值．
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并证明你的结论．
（3）f（x）在x∈[m，n]上的值域为[m，n]（-1≤m＜n≤1 ），求m+n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵定义在区间[-1，1]上的函数f（x）=2x+bx2+1为奇函数，
∴f（0）=0，即b=0，…（2分）
检验：当b=0时，f（x）=2xx2+1为奇函数，…（3分）
∴b=0．
（2）函数f（x）=2xx2+1在区间（-1，1）上是增函数…（4分）
证明：∵f（x）=2xx2+1，
∴f′（x）=2(x2+1)-2x•2x(x2+1)2
=2(1-x2)(x2+1)2，…（6分）
∵x∈（-1，1），
∴f′（x）＞0，…（7分）
∴函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数 …（8分）
（3）由（2）知函数f（x）在区间[m，n]上是增函数，函数f（x）的值域为[f（m），f（n）]
∴f(m)=mf(n)=n即2mm2+1=m①2nn2+1=n②…（9分）
由①得m=-1 或 0或1，
由②得n=-1 或 0或1…（11分）
又∵-1≤m＜n≤1
∴m=-1，n=0；或m=-1，n=1；或m=0，n=1…（12）
∴m+n=-1；或m+n=0；或m+n=1…（13）

解析

2x+bx2+1

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在区间[-1，1]上的函数f(x.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）