已知函数f(x)=x+1x求函数y=f的定义域；判断函数y=f的奇偶性并证明；判断函数y=f在区间的单调性并证明

题文

已知函数f(x)=x+1x
（1）求函数y=f（x）的定义域；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性并证明；
（3）判断函数y=f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）要使函数有意义，则x≠0，
∴函数y=f（x）的定义域为{x|x≠0}；（4分）
（2）函数f(x)=x+1x是奇函数，
证明：函数y=f（x）的定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）
任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f(-x)=(-x)+1-x=-(x+1x)=-f(x)
所以函数f(x)=x+1x（x∈（-∞，0）∪（0，+∞））是奇函数；（8分）
（3）函数f(x)=x+1x在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁、x₂使得x₁＞x₂＞1，
都有f(x1)-f(x2)=(x1+1x1)-(x2+1x2)=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2
由x₁＞x₂＞1得，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，函数f(x)=x+1x在区间（1，+∞）上是增函数．（12分）

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+1x（1）求函数y.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）