已知f=ax2+bx+c，f=0，对任意实数x恒有f=f成立，方程f=x有两个相等实根．求f；是否存在实

题文

已知f（x）=ax²+bx+c，f（0）=0，对任意实数x恒有f（1-x）=f（1+x）成立，方程f（x）=x有两个相等实根．
（1）求f（x）；
（2）是否存在实数m，n，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]？为什么？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（1-x）=f（1+x），∴f（x）的对称轴为x=1，
可得-b2a=1即b=-2a．（*）
∵f（x）=x有两相等实根，∴ax²+bx=x，即方程ax²+（b-1）x=0有两相等实数根，
∴（b-1）²-4×a×0=0，解之得b=1，代入（*）得a=-12，
∴函数的解析式为f（x）=-12x²+x．
（2）由（1）得f（x）=-12x²+x=-12（x-1）²+12≤12，
若函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]，可得3n≤12，所以m＜n≤16，
又∵函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=1，
∴f（x）在区间[m，n]上单调递增，有f（m）=3m且f（n）=3n，
解之得m=0或m=-4，n=0或n=-4，
又∵m＜n，∴m=-4，n=0．
即存在实数m=-4、n=0，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[3m，3n]．

解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=ax2+bx+c，f（0）.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）